KPSS Pisagor Teoremi Hap Bilgiler 2026

Geometri · Konu 5/6 · sıralı çalışma

Kısa özet: Pisagor Teoremi'ne göre bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a²+b²=c². 3-4-5 ve 5-12-13 üçlülerini (ve katlarını) tanımak kök almadan çözüm sağlar. Ters Pisagor ile de üç kenarı verilen bir üçgenin dik olup olmadığı, en uzun kenarın karesi diğer ikisinin kareleri toplamıyla karşılaştırılarak anlaşılır.

18 altın kural
KPSS'de ort. ~1-2 soru
En kritik: a²+b²=c², Pisagor üçlüleri, ters Pisagor

KPSS'de Pisagor soruları iki kenarı verip üçüncüyü sordurma, merdiven-duvar tipi günlük hayat modellemesi ve kenarları verilen üçgenin dikliğini test ettirme biçiminde gelir. Şıklarda genellikle 15-9=6 gibi "doğrudan çıkarma" tuzağı bulunur; kareler alınmadan sonuca gidilmemelidir. Aşağıdaki kurallar teoremin doğru kullanımını, Öklid bağıntılarını ve köşegen-uzaklık uygulamalarını özetler.

Pisagor Teoreminin Temel Formülü

Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir: a²+b²=c² (c her zaman hipotenüs, yani dik açının karşısındaki en uzun kenardır). Bu formül SADECE dik üçgenlerde geçerlidir, başka üçgende kullanılamaz.

3-4-5 Pisagor Üçlüsü

En sık çıkan Pisagor üçlüsü: 3²+4²=5² (9+16=25). Bu üçlünün katları da (6-8-10, 9-12-15, 12-16-20) geçerlidir. Kenarlardan ikisi bu orana uyuyorsa üçüncü kenar hesaplamadan direkt bulunabilir.

5-12-13 Pisagor Üçlüsü

İkinci en sık çıkan üçlü: 5²+12²=13² (25+144=169). Katları da geçerlidir (10-24-26 gibi). KPSS sorularında bu iki üçlüyü (3-4-5 ve 5-12-13) tanımak, karekök hesabından tamamen kurtarır.

8-15-17 ve 7-24-25 Üçlüleri

Daha az sık ama KPSS'de çıkan diğer üçlüler: 8²+15²=17² (64+225=289) ve 7²+24²=25² (49+576=625). Bu üçlüleri bilmek, büyük sayılarla kök alma işleminden kaçınmayı sağlar.

Ters Pisagor ile Dik Üçgen Tanıma

Bir üçgenin kenar uzunlukları verilip dik üçgen olup olmadığı soruluyorsa, en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen dik açılıdır (ters Pisagor). Eşit değilse üçgen dik açılı değildir — bu kısayol açı hesaplamadan üçgen türünü belirler.

Hipotenüsü Doğru Belirleme

Hipotenüs HER ZAMAN dik açının karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır. Formülde c yerine yanlışlıkla bir dik kenarı koymak (örneğin a²+c²=b² yazmak) KPSS'nin en sık yapılan Pisagor hatasıdır.

12 Hap Bilgi Daha

Pisagor Teoremi konusunun tüm hap bilgilerine erişmek için ücretsiz kayıt ol.

Ücretsiz Kayıt Ol

Bir Kenar Eksikken Çözüm

İki kenar biliniyorsa: eğer bilinenler iki dik kenarsa hipotenüs c=√(a²+b²) ile toplanarak, eğer bilinenlerden biri hipotenüs ise eksik dik kenar b=√(c²-a²) ile çıkarılarak bulunur. Hangi kenarın hipotenüs olduğunu karıştırmak yaygın hatadır.

Yükseklik Bağıntısı (Öklid Teoremi)

Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik h, hipotenüsü p ve k parçalarına böler; burada h²=p×k, a²=p×c (c=hipotenüs), b²=k×c bağıntıları geçerlidir. Bu, hipotenüse ait yükseklik sorularında Pisagor'a alternatif hızlı bir yoldur.

Köşegen Hesabında Pisagor Kullanımı

Dikdörtgenin köşegeni d=√(a²+b²), karenin köşegeni d=a√2 (Pisagor'un özel hali) formülleriyle bulunur çünkü köşegen, dikdörtgeni/kareyi iki dik üçgene böler. Üç boyutlu kutularda uzay köşegeni ise d=√(a²+b²+c²) ile (iki kez Pisagor uygulanarak) bulunur.

#10

İkizkenar Üçgende Yükseklik ile Pisagor

İkizkenar üçgende tepeden tabana inen yükseklik, tabanı tam ortadan ikiye böler; bu sayede yükseklik (h), yan kenar (a) ve yarı taban (t/2) arasında h²+(t/2)²=a² dik üçgen ilişkisi kurulur. Bu, ikizkenar üçgen alan sorularının standart çözüm yoludur.

#11

Merdiven-Duvar Tipi Uygulama Soruları

Bir merdivenin duvara veya bir ipin direğe olan uzaklığı sorularında, yerdeki mesafe ve yükseklik iki dik kenar, merdiven/ip uzunluğu ise hipotenüs olarak modellenir. KPSS bu günlük hayat tipi soruları Pisagor'a doğrudan çevirmeyi bekler.

#12

Pisagor'da Kök İçindeki Sayıyı Sadeleştirme

√(a²+b²) hesabı tam kare çıkmıyorsa sonucu kök içinde sadeleştirilmiş biçimde bırakın (örn. √50=5√2); tam sayıya yuvarlamak yanlış sonuca götürür. Seçenekler genelde sadeleştirilmiş kök formunda verilir.

#13

Dik Üçgende Kenarortay-Hipotenüs İlişkisi

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (ma=c/2). Bu özel kural, dik üçgeni çevreleyen çemberin yarıçapının hipotenüsün yarısı olmasından kaynaklanır (çapı gören çevre açı 90°'dir).

#14

Pisagor ile Alan Bağlantısı

Dik üçgende Alan = (dik kenar1 × dik kenar2)/2 formülü, hipotenüs bilinmese bile sadece iki dik kenarla hesaplanabilir. Hipotenüse ait yükseklik biliniyorsa Alan = (hipotenüs × yükseklik)/2 formülü de aynı sonucu verir; iki formülü eşitleyerek eksik kenar bulunabilir.

#15

Negatif/İmkansız Üçgen Kontrolü

Pisagor'dan çıkan bir kenar değeri negatif ya da karekök içi negatif çıkıyorsa, verilen kenarlarla dik üçgen kurulamıyor demektir — bu genelde soru verilerinin yanlış eşleştirildiğinin (örn. hipotenüs yerine dik kenar kullanma) işaretidir, hesap tekrar kontrol edilmelidir.

#16

Pisagor Üçlüsünü Ölçekleme

Bir Pisagor üçlüsünün (örneğin 3-4-5) her kenarı aynı k sayısıyla çarpılırsa (3k-4k-5k gibi) elde edilen yeni üçlü de bir Pisagor üçlüsü olmaya devam eder, çünkü (3k)²+(4k)²=(5k)² eşitliği k² ortak çarpanıyla sadeleşerek orijinal eşitliğe indirgenir.

#17

Koordinat Düzleminde İki Nokta Arası Uzaklık

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor'un koordinat düzlemine uygulanmış halidir: |AB| = √((x2-x1)²+(y2-y1)²). Örneğin (0,0) ile (3,4) arası √(9+16) = 5 birimdir; yatay ve dikey farklar iki dik kenar, uzaklık ise hipotenüs olarak modellenir.

#18

Çemberde Kiriş Uzunluğu ve Pisagor

Çemberde merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar; yarıçap (r), merkezin kirişe uzaklığı (d) ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur: (kiriş/2)² + d² = r². Örneğin r=5, d=3 ise kirişin yarısı 4, kiriş 8 birim olur (3-4-5 üçlüsü).

Örnek Soru

Soru: Bir dik üçgende dik kenarlardan biri 9 cm, hipotenüs 15 cm'dir. Diğer dik kenar kaç cm'dir?

A) 6
B) 10
C) 12
D) 13
E) 18

Doğru Cevap: C) Bu, 3-4-5 üçlüsünün 3 katıdır (9-12-15 = 3×(3-4-5)). Doğrudan tanınabilir ama Pisagor ile de doğrulanır: b²=c²-a²=15²-9²=225-81=144, b=√144=12 cm. Seçenek A (6), yanlışlıkla hipotenüs ile kenarın farkının alınmasından (15-9=6) kaynaklanan klasik bir hesap hatasıdır ve Pisagor yerine doğrudan çıkarma yapılırsa bu tuzağa düşülür.

İlgili Konular

Geometri Konu Anlatımı

Detaylı anlatım

📊

Matematik Soru Dağılımı

Yıllara göre analiz

Sıkça Sorulan Sorular

Pisagor teoremi SADECE dik üçgenlerde (bir açısı tam 90° olan üçgenlerde) geçerlidir. Dik açısı olmayan üçgenlerde (dar açılı veya geniş açılı üçgenlerde) bu formül kullanılamaz, onun yerine kosinüs teoremi gibi farklı yöntemler gerekir; ancak KPSS düzeyinde genelde sadece dik üçgen Pisagor soruları çıkar.

Zorunlu olmasa da 3-4-5 ve 5-12-13 üçlülerini (ve katlarını) ezbere bilmek KPSS'de büyük zaman kazandırır, çünkü kök alma işlemine hiç gerek kalmadan üçüncü kenar tanınabilir. 8-15-17 ve 7-24-25 üçlüleri daha az sık çıkar ama bilinmesi ek güvence sağlar.

Hipotenüs, dik açının (90°'lik açının) tam karşısında bulunan kenardır ve üçgenin daima en uzun kenarıdır. Şekil üzerinde dik açı işaretini (küçük kare simgesi) bulup, o açının karşısındaki kenarı hipotenüs olarak işaretlemek en güvenli yöntemdir.

Üç kenar uzunluğu verildiğinde, en uzun kenarın karesini diğer iki kenarın karelerinin toplamıyla karşılaştırın. Eşitse (örneğin 6-8-10'da 10²=6²+8² yani 100=36+64) üçgen dik açılıdır; en uzun kenarın karesi toplamdan büyükse geniş açılı, küçükse dar açılıdır.